Por puntualizar.
Cita:
Cheshire's Katua dijo:
Veo dos sistemas de referencia, uno en reposo y otro en movimiento acercándose. Colocamos dos relojes sincronizados en cada uno de ellos, y observamos el que está en movimiento desde el que está en reposo. Hasta ahí bien. La imagen del reloj en movimiento tarda un tiempo en llegar a mi posición, y eso da la sensación de que adelante. Son unas cuentas muy sencillas, vale.
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De hecho lo que se ve es que atrasa, no que adelante. Una parte es debida a ese retardo de llegada, pero hay un término adicional.
Cita:
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Por otro lado, se supone que la experiencia dice que los relojes en movimiento atrasan, para comprobarlo tendríamos que observar un reloj (sincronizado con el nuestro) lo suficientemente lejano como para que la velocidad de la luz no sea despreciable.
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¿Qué tiene que ver que esté lejos con que la velocidad de la luz sea despreciable? Además, la velocidad de la luz no es despreciable sino aparentemente infinita en aproximación cotidiana (o límite newtoniano).
Cita:
Pero bien, me lo creo. Y precisamente eso es lo que predice la teoría de la relatividad, aplicando, en vez de las cuentas sencillas de antes, la transformada de Lorentz.
Y lo que se deduce de todo esto, es que esas cuentas sencillas fallan porque hemos considerado que el tiempo es el mismo en ambos sistemas, lo que lleva a que es relativo. Y sí, sobre el papel lo veo muy claro, pero necesito una explicación intuitiva (que ni mente a Lorentz).
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¿Cómo que la transformación de Lorentz falla? En el ejemplo que has dado da el resultado correcto. La transformación de Lorentz deriva precisamente de la no universalidad del tiempo.
Cita:
¿Alguien se anima? Me da la sensación de que no he entendido nada desde el principio o de que se me escapa algo o yo que sé 
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Podría ser.
La idea básica es que la relatividad es que la velocidad de la luz es un invariante bajo transformaciones de sistemka de referencia. Esto significa que si yo me subo a un coche y veo pasar fotones, éstos siempre irán a la misma velocidad (módulo obviamente) independientemente de mi velocidad. O de en qué dirección vaya. Esto es un hecho bien conocido que se dedujo en primer lugar del experimento de Michelson-Morley
Código PHP:
http://es.wikipedia.org/wiki/Experimento_Michelson-Morley
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Si uno utiliza una física "galileana", que es lo que uno concluiría por "sentido común", esta ley no se cumple. Esta física se fundamente en el fondo en que el tiempo es universal. Un segundo para mí es lo mismo que para tí. Y de ahí se puede probar unívocamente leyes como "si yo voy a 80 km/h y el coche de delante en el carril a 100 km/h, yo le veo avanzar a 20 km/h respecto a mí". Suena de sentido común ¿no? Como es obvio, esto es incompatible con la invariancia de la velocidad de la luz (el coche debería ver que los fotones que le adelantan son algo más lentos que observados en reposo), así que deduzcamos unas ecuaciones de transformación entre sistemas de referencia (en profano "voy en un coche a X km/h. ¿cómo veo al de delante?") que respeten la invariancia de c (velocidad de la luz). Para construir esas ecuaciones conservando la geometría euclídea, sólo se puede plantear que hay dos tiempos distintos, t y t', para los dos observadores, y que se relacionan dependiendo de la velocidad relativa, pero nunca t=t' (+corrección de llegada) salvo en el límite newtoniano, en que esa aproximación es válida.
Si no nos fiamos de que un señor muy listo ha hecho las ecuaciones bien, hagamos un experimento mental que nos pruebe que la invariancia de la velocidad de la luz IMPLICA que los tiempos no van igual. Es muy sencillo.
Supongamos que tenemos un artefacto consistente en dos espejos horizontales, separados por ejemplo por un metro y medio. Pongamos un fotón de luz rebotando del uno al otro. Está claro que para el que está al lado del sistema la luz va y vuelve al espejo de abajo en 3 metros/c = 1E-8 seg.
Montemos ahora ese cacharro en una vagoneta que va por una vía a cierta velocidad v, que es comparable a la de la luz. La décima parte o así. Alguien que mire desde fuera no ve el fotón viajando en línea recta, sino una especie de zig-zag. Si en vez de un fotón fuera una pelota de goma, y todo fuera a velocidades muy pequeñas respecto a la de la luz, tendríamos un problema clásico de bachiller en que el movimiento vertical está "desacoplado" del horizontal, y el tiempo de retorno al espejo de abajo es igual que en reposo.
Pero hemos dicho que la velocidad de la luz debe ser invariante. Por tanto, no podemos suponer que el fotón viaja en vertical a la velocidad de la luz, y en horizontal a v. El módulo de la velocidad del fotón debe ser c para este observador exterior, así que la velocidad vertical del fotón parece ser sólo de (c^2 - v^2)^0.5 . Esta componente, junto a v en horizontal, respeta la condición de que la velocidad del fotón se conserve.
Como es obvio, esta nueva velocidad vertical es menor que c, así que el observador exterior observa que el fotón no va y vuelve al espejo de abajo cada 1E-8 segundos, sino algo más. ¿Cuánto más? Haced la cuenta vosotros en función al término gamma, que es este.
Por tanto, el observador que ve un sistema viajando a velocidad relativista ve que los procesos en su interior son más lentos. Gamma veces más lentos. Y eso es lo que se entiende como "dilatación temporal" en el contexto de la relatividad especial.
Más claro, agua. Ahora a ver cómo explicais que el que va en la vagoneta ve que el de reposo va más lento que él
